已知函数

1. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程

(2) 证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

【考点】

根据实际问题选择函数类型; 利用导数研究曲线上某点切线方程;

【答案】

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解答题普通

1. 某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为 $\text{[math]}$ ，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．

(1) 若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且 $\text{[math]}$ ，求p的取值范围；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？

解答题普通

2. 高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 代表山坡，线段 $\text{[math]}$ 为一段平地.设图中 $\text{[math]}$ 坡的倾角满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ .假设该路段的高铁轨道是水平的（与 $\text{[math]}$ 平行），且端点 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 在同一铅垂线上，每隔 $\text{[math]}$ 需要建造一个桥墩（不考虑端点 $\text{[math]}$ 建造桥墩）

(1) 求需要建造的桥墩的个数；

(2) 已知高铁轨道的高度为 $\text{[math]}$ ，设计过程中每 $\text{[math]}$ 放置一个桥墩，设桥墩高度为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），单个桥墩的建造成本为 $\text{[math]}$ （单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.

解答题普通

3. 为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是 $\text{[math]}$ 毫克，（即 $\text{[math]}$ ）.

(1) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ；

(2) 该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.

解答题普通