已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．

1. 已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，
连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B₁处．

(1) 如图1，若点E在线段BC上，求CF的长．

(2) 求sin∠DAB₁的值．

(3) 如果题设中“BE=2CE”改为“ $\text{[math]}$ ”．其他条件都不变，试写出△ABE折叠后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要求写出结论）．

【考点】

正方形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S₁ ，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S₂ ，且S₁=S₂.

(1) 求线段CE的长.

(2) 若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.

综合题普通

2. 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.

(1) 求证：CD⊥CG；

(2) 若tan∠MEN= $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 $\text{[math]}$ ？请说明理由.

综合题困难

3. 在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= $\text{[math]}$ ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

(1) 当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；

(2) 结合图②，通过观察、测量、猜想： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，并证明你的猜想；

(3) 把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若AC=8，BD=6，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难