如图，点O是直线上一点．将射线绕点O逆时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点O顺时针旋转，转速为转速的3倍，得到射线．设旋转时间为t秒（）．

1. 如图，点O是直线 $\text{[math]}$ 上一点．将射线 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，转速为每秒 $\text{[math]}$ ，得到射线 $\text{[math]}$ ；同时，将射线 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转，转速为 $\text{[math]}$ 转速的3倍，得到射线 $\text{[math]}$ ．设旋转时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．

(1) 当 $\text{[math]}$ 秒时（如图1），求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 当射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 重合时（如图2），求t的值；

(3) 是否存在t值，使得射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

【考点】

角的运算; 一元一次方程的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题普通

1. 如图1所示， $\text{[math]}$ ．射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 位置出发，绕 $\text{[math]}$ 点每秒逆时针旋转1°．射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 位置出发，绕 $\text{[math]}$ 点每秒逆时针旋转5°，当其与射线 $\text{[math]}$ 或射线 $\text{[math]}$ 相遇时，保持运动速度不变但运动方向发生改变，如此往返．当 $\text{[math]}$ 时，运动停止．设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，当射线 $\text{[math]}$ 还未与射线 $\text{[math]}$ 相遇，且其为 $\text{[math]}$ 的平分线时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 试求出整个运动过程中，射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 一共相遇了几次？

解答题困难

2. 如图1，射线OC 在 $\text{[math]}$ 的内部，图中共有3个角： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC 是， $\text{[math]}$ 的“奇分线”.如图 $\text{[math]}$

图1 图2 图3

(1) 过点 P 作射线 PQ，若射线 PQ 是 $\text{[math]}$ 的“奇分线”，求 $\text{[math]}$

(2) 若射线 PE 绕点 P 从PN 位置开始，以每秒（ $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转，当 $\text{[math]}$ 首次等于 $\text{[math]}$ 时停止旋转，设旋转的时间为t（秒）.当t 为何值时，射线 PN 是 $\text{[math]}$ 的“奇分线”?

解答题普通

3. 如图1，点A，O，B 依次在直线MN上，现将射线OA 绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒 6°的速度旋转，直线MN 保持不动，如图2，设旋转时间为 $\text{[math]}$ 单位：秒），

图1 图2

(1) 当t=3时，求∠AOB 的度数.

(2) 在运动过程中，当∠AOB 第二次达到72°时，求 t 的值.

(3) 在旋转过程中是否存在这样的t值，使得射线OB 与射线OA 垂直? 如果存在，请求出 t 的值；如果不存在，请说明理由.

解答题困难