近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．建立平台第年123会员人数（千人）223470

1. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示．

建立平台第 $\text{[math]}$ 年	1	2	3
会员人数 $\text{[math]}$ （千人）	22	34	70

(1) 请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第 $\text{[math]}$ 年年末会员人数 $\text{[math]}$ （千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．

(2) 为了更好地维护管理平台，该平台规定第 $\text{[math]}$ 年年末的会员人数上限为 $\text{[math]}$ 千人，请根据（1）中得到的函数模型，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

函数恒成立问题; 指数函数的单调性与特殊点; “指数爆炸”模型;

【答案】

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解答题普通

1. 二次函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 在区间 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 的图象恒在 $\text{[math]}$ 图象的上方，试确定实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

2. 某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度 $\text{[math]}$ （单位：毫克/升）与时间 $\text{[math]}$ （单位：小时）满足关系式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度 $\text{[math]}$ （单位：毫克/升）与时间 $\text{[math]}$ （单位：小时）满足关系式 $\text{[math]}$ ，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；

(2) 若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 有如下性质：若常数 $\text{[math]}$ ，则该函数在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在 $\text{[math]}$ 上单调递增.

(1) 已知函数 $\text{[math]}$ ，利用上述性质，求函数 $\text{[math]}$ 的值域；

(2) 对于（1）中的函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通