已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为，

1. 已知椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 求C的方程；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，证明：线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与C恰有一个公共点；

(3) 设M是坐标平面上的动点，且线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．

【考点】

椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方）， $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的2倍.

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 求 $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，则在 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴均不平行时，有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．

解答题普通