如图，在中，，，．点P是上的一点，连结，作点A关于的对称点D，连结、．

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是 $\text{[math]}$ 上的一点，连结 $\text{[math]}$ ，作点A关于 $\text{[math]}$ 的对称点D，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 线段 $\text{[math]}$ 的长为　　　；

(2) 当点D落在 $\text{[math]}$ 内部时，求线段 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 当边 $\text{[math]}$ 把 $\text{[math]}$ 的面积分为 $\text{[math]}$ 的两部分时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(4) 当 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 的一边时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

菱形的判定与性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

解答题普通

3. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通