定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．

1. 定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．

(1) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①如图1，若O为 $\text{[math]}$ 的中点，则射线 $\text{[math]}$ _____ $\text{[math]}$ 的等腰分割线（填“是”或“不是”）

②如图2，已知 $\text{[math]}$ 的一条等腰分割线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点P，且 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长度．

(2) 如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高，F为 $\text{[math]}$ 的中点，过点F的直线l交 $\text{[math]}$ 于点E，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为M，N， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若射线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“等腰分割线”，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点D．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿边 $\text{[math]}$ 匀速运动到点B停止，连结 $\text{[math]}$ ．设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

(4) 当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出t的值．

解答题困难

2. 用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图（1），若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的等腰分割线（填“是”或“不是”）

(2) 如图（2），已知 $\text{[math]}$ 的一条等腰分割线 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

(3) 如图（3），在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一点，若直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的等腰分割线，则线段 $\text{[math]}$ 的长度等于．

解答题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若动点P从点C开始，按 $\text{[math]}$ 的路径运动，且速度为每秒 $\text{[math]}$ ，设出发的时间为t秒．

(1) 出发1秒后，求 $\text{[math]}$ 的周长．

(2) 问t为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形？

(3) 另有一点Q，从点C开始，按 $\text{[math]}$ 的路径运动，且速度为每秒 $\text{[math]}$ ，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线 $\text{[math]}$ 把 $\text{[math]}$ 的周长分成相等的两部分？

解答题困难