某款电子偏转仪器由边长为L的立方体空间OABC-O1A1B1C1构成，如图所示。电子发射器位于顶部A1O1的中点M，可向O1A1B1C1平面内各个方向均匀射出速率均为v的电子。在立体空间任意两个对立面可放置两块面积较大、与电源相连的金属板，从而实现在立方体空间内产生匀强电场，以控制电子的运动。已知电子质量为m、电荷量大小为e，电子打在金属板上将被吸收不再反弹进入电场，不计电子重力及电子间的相互作用力。问：

1. 某款电子偏转仪器由边长为L的立方体空间OABC-O₁A₁B₁C₁构成，如图所示。电子发射器位于顶部A₁O₁的中点M，可向O₁A₁B₁C₁平面内各个方向均匀射出速率均为v的电子。在立体空间任意两个对立面可放置两块面积较大、与电源相连的金属板，从而实现在立方体空间内产生匀强电场，以控制电子的运动。已知电子质量为m、电荷量大小为e，电子打在金属板上将被吸收不再反弹进入电场，不计电子重力及电子间的相互作用力。问：

(1) 当两块金属板分别放置在ABB₁A₁面和OCC₁O₁面时，若恰好无电子运动到OCC₁O₁面，则与金属板相连的电源电压U₁是多少？

(2) 当两块金属板分别放置在OABC面和O₁A₁B₁C₁面时，若恰好有电子打在底部BC的中点Q，则与金属板相连的电源电压U₂是多少？

(3) 在（2）的基础上，设电子从发射器射出的速度与中线MP的夹角为θ，求电子从M点运动到立体空间边缘的过程，电场力做功W与θ的函数关系。

【考点】

电势能; 带电粒子在电场中的偏转;

【答案】

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解答题困难

1. 如图所示， $\text{[math]}$ 平面的第一象限内， $\text{[math]}$ 的区域内有平行x轴沿x轴负向的匀强电场区域Ⅰ， $\text{[math]}$ 的区域内存在平行y轴沿y轴负向的匀强电场区域Ⅱ，区域Ⅰ和区域Ⅱ内的电场强度大小相等。第三象限内有平行 $\text{[math]}$ 平面方向未知的匀强电场。质量为m、带电量为 $\text{[math]}$ 的粒子从区域Ⅰ内的适当位置由静止释放后，能通过坐标原点O。粒子重力不计。

(1) 求粒子释放点的坐标应满足的条件；

(2) 某粒子从O点射入第三象限的电场后，依次通过 $\text{[math]}$ 点和 $\text{[math]}$ 点，且粒子从O到A的时间和从A到B的时间均为 $\text{[math]}$ 。

①求第三象限内匀强电场的电场强度 $\text{[math]}$ 的大小；

②若规定O点电势为零，求从O到B的过程中，粒子电势能的最大值。

解答题普通

2. 如图所示，竖直面内建立直角坐标系，第二象限存在竖直向上的匀强电场E₁（未知），第一象限存在如图所示的匀强电场 $\text{[math]}$ 。质量为m、电荷量为+q的带电小球从A（−2L，0）点以初速度 $\text{[math]}$ （g为重力加速度大小）进入第二象限，后经y轴上的B（0，L）点水平向右进入第一象限，落在x轴上的C点（图中未画出）。不计空气阻力，小球重力不可忽略。求：

(1) 电场强度E₁的大小；

(2) C点的位置坐标及小球经过C点时的速度大小。

解答题普通

3. 某离子实验装置的基本原理如图所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；Ⅱ区宽度为 $\text{[math]}$ ，左边界与x轴垂直交于 $\text{[math]}$ 点，右边界与x轴垂直交于 $\text{[math]}$ 点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，最后恰好到达 $\text{[math]}$ 点。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为θ。忽略离子间的相互作用，不计离子的重力。

(1) 求离子从O点进入Ⅰ区时速度的大小v；

(2) Ⅱ区内电场强度的大小E；

(3) 若将Ⅱ区分为宽度相等的2024部分，分别填充电场强度大小均为 $\text{[math]}$ ，相邻区域方向相反且平行y轴的匀强电场，为使离子仍可到达 $\text{[math]}$ 点，求满足条件的 $\text{[math]}$ 的大小，并求出离子在Ⅱ区运动过程中，运动轨迹切线第1000次与x轴平行时的位置坐标。

解答题困难