甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗．

1. 甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗．

(1) 甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率；

(2) 甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大 $\text{[math]}$ 的概率；

(3) 若第一次掷出点数之和大于 $\text{[math]}$ 的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率.

【考点】

互斥事件的概率加法公式; 古典概型及其概率计算公式;

【答案】

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解答题困难

1. 甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6点），每人每次投掷两颗，

(1) 甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率；

(2) 甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大 $\text{[math]}$ 点的概率；

(3) 若第一个使两颗骰子点数和大于 $\text{[math]}$ 者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率.

解答题困难

2. 甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：

①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若 $\text{[math]}$ ，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；

②直接结束抽牌，记 $\text{[math]}$ ，换由乙抽牌一次．

记乙抽到的纸牌上的数字为c，若 $\text{[math]}$ ，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．

(1) 若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；

(2) 若甲抽牌2次，求甲赢的概率；

(3) 当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）

参考公式：若数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩 $\text{[math]}$ ，现规定：成绩在 $\text{[math]}$ 的同学为“成绩顶尖”，在 $\text{[math]}$ 的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.

(1) 已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；

(2) 现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：

(3) 为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.

（参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题普通