甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次．记乙抽到的纸牌上的数字为c，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．

1. 甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：

①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若 $\text{[math]}$ ，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；

②直接结束抽牌，记 $\text{[math]}$ ，换由乙抽牌一次．

记乙抽到的纸牌上的数字为c，若 $\text{[math]}$ ，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．

(1) 若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；

(2) 若甲抽牌2次，求甲赢的概率；

(3) 当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）

参考公式：若数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

【考点】

古典概型及其概率计算公式;

【答案】

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解答题困难

1. 某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩 $\text{[math]}$ ，现规定：成绩在 $\text{[math]}$ 的同学为“成绩顶尖”，在 $\text{[math]}$ 的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.

(1) 已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；

(2) 现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：

(3) 为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.

（参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题普通

2. 有编号为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 个空盒子 $\text{[math]}$ ，另有编号为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 个球 $\text{[math]}$ ，现将 $\text{[math]}$ 个球分别放入 $\text{[math]}$ 个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将1号球随机放入 $\text{[math]}$ 个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个．记 $\text{[math]}$ 号球能放入 $\text{[math]}$ 号盒子的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 求 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 2024年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了500名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

(1) 求x的值，并估计这500名观众每个月阅读时长的平均数和中位数；

(2) 用分层抽样的方法从 $\text{[math]}$ 这两组观众中随机抽取12名观众，再若从这12名观众中随机抽取4人参加抽奖活动，求所抽取的4人中两组均有的概率.

解答题普通