对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3．

1. 对于有理数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ，则2和3关于1的“美好关联数”为3．

(1) $\text{[math]}$ 和5关于2的“美好关联数”为______；

(2) 若 $\text{[math]}$ 和2关于3的“美好关联数”为4，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于1的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于2的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ 知 $\text{[math]}$ 关于3的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于41的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ．

①求 $\text{[math]}$ 的最小值；

②求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

探索数与式的规律; 数轴上两点之间的距离;

【答案】

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解答题困难

1. 给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为 $\text{[math]}$ ．如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示．

$\text{[math]}$

根据以上材料，解决下列问题：

(1) $\text{[math]}$ 的值为______， $\text{[math]}$ 的值为______；

(2) 如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二相加不变”．

①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；

②与23“模二相加不变”的两位数有______个．

解答题困难

2. 观察下列三行数，并完成后面的问题：

① $\text{[math]}$ ， 4， $\text{[math]}$ ， 16，…；

②1， $\text{[math]}$ ， 4， $\text{[math]}$ ， …

③0，3， $\text{[math]}$ ， 9，…；

(1) 思考第①行数的规律，写出第7个数字是_____，第n个数字是_____；（用含n的代数式表示）

(2) 第②行数第n个数字是______；第③行数第n个数字是_____；（用含n的代数式表示）

(3) 设x、y、z分别表示第①、②、③行数的第n个数字，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 观察下面三行数．

第一行， $\text{[math]}$ ， …

第二行： $\text{[math]}$ ， …

第三行： $\text{[math]}$ ， …

(1) 第一行的第8个数是________，第三行的第8个数是________．

(2) 若设第一行的第n个数是x，则第二行的第n个数是________，第三行的第n个数是________（用含x的式子表示），

(3) 取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于 $\text{[math]}$ ？若能，求出这三个数，若不能，请说明理由．

解答题普通