如图所示，半径的四分之一光滑圆轨道与光滑水平长直轨道在点平滑连接，圆轨道A点与圆心等高，点切线水平。一条长度的水平传送带以的速度匀速向右运行。时刻一物块在传送带左端静止释放。另一时刻，一与物块完全相同的物块从A点以一初速度释放。时刻物块以的速度冲上传送带左端。已知物块、质量均恒为，两物块与传送带的动摩擦因数均为，两物块运动过程中均可看作质点，两者的碰撞时间极短（可忽略不计），而且碰后物块、粘在一起，求：

1. 如图所示，半径 $\text{[math]}$ 的四分之一光滑圆轨道 $\text{[math]}$ 与光滑水平长直轨道 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 点平滑连接，圆轨道A点与圆心 $\text{[math]}$ 等高， $\text{[math]}$ 点切线水平。一条长度 $\text{[math]}$ 的水平传送带 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度匀速向右运行。 $\text{[math]}$ 时刻一物块 $\text{[math]}$ 在传送带左端 $\text{[math]}$ 静止释放。另一时刻，一与物块 $\text{[math]}$ 完全相同的物块 $\text{[math]}$ 从A点以一初速度释放。 $\text{[math]}$ 时刻物块 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度冲上传送带左端 $\text{[math]}$ 。已知物块 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 质量均恒为 $\text{[math]}$ ，两物块与传送带的动摩擦因数均为 $\text{[math]}$ ，两物块运动过程中均可看作质点，两者的碰撞时间极短（可忽略不计），而且碰后物块 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 粘在一起，求：

(1) 物块 $\text{[math]}$ 在A点时受到轨道支持力的大小；

(2) 碰撞前瞬间物块 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的速度分别多大；

(3) 物块 $\text{[math]}$ 从传送带左端 $\text{[math]}$ 运动到右端 $\text{[math]}$ 所用的时间 $\text{[math]}$ ；

(4) 在0-3s时间内，传送带额外消耗的电能 $\text{[math]}$ 。

【考点】

动量守恒定律; 牛顿运动定律的应用—传送带模型; 动能定理的综合应用; 碰撞模型;

【答案】

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解答题困难

1. 如图所示，光滑水平面上有一质量为M=1kg的长木板，木板左端表面水平且长为L=2m，右端连有光滑的 $\text{[math]}$ 圆弧槽。现有一个的质量为m=0.5kg可视为质点的物块以速度v₀=3m/s水平滑上长木板，m与长木板水平部分间的动摩擦因数为μ=0.1，物块滑过水平部分后能冲上圆弧面而又不能离开圆弧面。求

（1）物块在圆弧面上能上升的最大高度；

（2）为使物块最终能滑出木板，v₀应满足的条件

解答题困难

2. 如图甲所示，斜面足够长，倾角 $\text{[math]}$ ，质量 $\text{[math]}$ 的小物块 $\text{[math]}$ 与小物块 $\text{[math]}$ 间拴接一轻弹簧，静止于斜面，且此时弹簧恰好处于原长， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与斜面间的动摩擦因数均为 $\text{[math]}$ 。质量 $\text{[math]}$ 的小物块 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上方 $\text{[math]}$ 处，以 $\text{[math]}$ 的初速度沿斜面向下运动， $\text{[math]}$ 与斜面间动摩擦因数也为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失。以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 碰撞时为0时刻， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 物块运动的 $\text{[math]}$ 图像如图乙所示，规定沿斜面向下为正方向，重力加速度 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。求：

（1）物块 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 碰撞后瞬间的速度大小 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；

（2）物块 $\text{[math]}$ 的质量 $\text{[math]}$ 。

解答题普通

3. 下图是矿山自动卸货简化示意图。质量为 $\text{[math]}$ 的平底容器内装有质量 $\text{[math]}$ 的矿石，从光滑圆弧轨道上高为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 点由静止释放，平滑滑上静止在光滑水平轨道上的无动力小车，小车长为 $\text{[math]}$ 、质量为 $\text{[math]}$ 。平底容器在小车上滑行与小车右端挡板碰撞后不反弹，而后随小车向右运动至水平轨道右端时，压缩固定在水平轨道右端的弹簧，当弹簧被压缩到最短时将小车锁定。卸下矿石后解除锁定，弹簧能量全部释放，将小车及空的平底容器一起弹回，当小车与水平轨道左侧台阶碰撞时瞬间停止。空平底容器滑出小车冲上圆弧轨道回到出发点 $\text{[math]}$ 。设平底容器长和宽远小于 $\text{[math]}$ ，矿石不会在平底容器中滑动，弹簧的形变始终处于弹性限度内，重力加速度为 $\text{[math]}$ 。试求：

（1）平底容器滑上小车前瞬间的速度大小；

（2）小车被锁定时弹簧的弹性势能；

（3）若平底容器与小车间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，且水平轨道足够长。要保证平底容器能在小车接触到弹簧前与小车右端挡板相碰，且能被弹回至出发点 $\text{[math]}$ ，则每次运送的矿石质量 $\text{[math]}$ 应满足什么要求？

解答题普通