如图所示，内壁光滑的细圆管道固定在光滑水平地面上，管道由两部分组成，段是关于点对称的抛物线形态，两点处的切线水平。质量为的小球乙放置在光滑水平地面上，现让质量也为的小球甲从点由静止开始沿着管壁下滑，小球甲、乙发生碰撞生成的热量为，碰撞刚结束时，甲、乙的速度之比为，重力加速度取，求：

1. 如图所示，内壁光滑的细圆管道固定在光滑水平地面上，管道由 $\text{[math]}$ 两部分组成， $\text{[math]}$ 段是关于 $\text{[math]}$ 点对称的抛物线形态， $\text{[math]}$ 两点处的切线水平。质量为 $\text{[math]}$ 的小球乙放置在光滑水平地面上，现让质量也为 $\text{[math]}$ 的小球甲从 $\text{[math]}$ 点由静止开始沿着管壁下滑，小球甲、乙发生碰撞生成的热量为 $\text{[math]}$ ，碰撞刚结束时，甲、乙的速度之比为 $\text{[math]}$ ，重力加速度取 $\text{[math]}$ ，求：

(1) 小球甲到达 $\text{[math]}$ 点时的速度以及 $\text{[math]}$ 两点的高度差；

(2) 若在 $\text{[math]}$ 点给小球甲一个水平向右的初速度 $\text{[math]}$ ，则甲在细圆管内从 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ ，且与内壁间恰无作用力，求甲从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的运动时间以及 $\text{[math]}$ 点切线与水平方向夹角的正切值；

(3) 接第（2）问 $\text{[math]}$ 点的倾角条件，甲再从 $\text{[math]}$ 点由静止开始沿着管壁下滑，求运动到 $\text{[math]}$ 点时重力的瞬时功率。

【考点】

平抛运动; 功率及其计算; 碰撞模型;

【答案】

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解答题普通

1. 襄阳横冲国际滑雪场，一名滑雪运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台A点处沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在斜坡B点处着陆。假设滑雪跑道足够长，测得AB间的距离为150m，斜坡与水平方向夹角为37°，已知运动员及装备的总质量为100kg，不计空气阻力（g取10m/s² ， sin37°=0.6，cos37°=0.8，计算结果均保留根号）。求：

(1) 运动员从A点飞出时的速度大小v₀；

(2) 若运动员从A点飞出时的速度大小变为1.2v₀ ，仍落到斜面上，求运动员落到斜面上的点到A点的距离。

解答题普通

2. 如图所示，固定光滑斜面倾角为 $\text{[math]}$ ，位于斜面底端A点正上方的小球以初速度 $\text{[math]}$ 正对斜面顶点B水平抛出，恰好垂直落在斜面上的C点。小球在空中运动过程中空气阻力不计，重力加速度为 $\text{[math]}$ 。

(1) 求小球在空中运动时间；

(2) 若将小球水平抛出同时，物块从斜面某位置由静止释放，物块在下滑过程中，恰好能被小球击中，求物块释放位置与斜面顶端的距离。

解答题普通

3. 跳台滑雪是一项勇敢者的运动。图所示运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台A点处沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在斜坡B点处着陆。测得AB间的距离为50 m，斜坡与水平方向夹角为 $\text{[math]}$ ，已知运动员及装备的总质量为 80 kg，不计空气阻力，g取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 计算结果均保留根号。求：

(1) 运动员从A点飞出时的速度大小 $\text{[math]}$ ；

(2) 若运动员从A点飞出时的速度大小变为 $\text{[math]}$ ，仍落到斜面上，求运动员落到斜面上的点到B点的距离。

解答题普通