对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.

1. 对于定义域为 $\text{[math]}$ 的函数，如果存在区间 $\text{[math]}$ ，同时满足下列两个条件：

① $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是单调的；

②当定义域是 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值域也是 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“黄金区间”.

(1) 请证明：函数 $\text{[math]}$ 不存在“黄金区间”；

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”；

(3) 如果 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“黄金区间”，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值.

【考点】

函数单调性的性质; 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题困难

1. 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为D ，对于区间 $\text{[math]}$ ，若满足以下两条性质之一，则称I为 $\text{[math]}$ 的一个“ $\text{[math]}$ 区间”．

性质1：对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ；

性质2：对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

(1) 分别判断区间 $\text{[math]}$ 是否为下列两函数的“ $\text{[math]}$ 区间”（不必说明理由）

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 区间”，求m的取值范围；

(3) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上，且图象连续不断的函数 $\text{[math]}$ 满足：对任意 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 存在“ $\text{[math]}$ 区间”，且存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 不属于 $\text{[math]}$ 的所有“ $\text{[math]}$ 区间”．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(2) 求关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集.

解答题普通

3. 对于区间[a,b](a<b),若函数 $\text{[math]}$ 同时满足：① $\text{[math]}$ 在[a,b]上是单调函数，②函数 $\text{[math]}$ 在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数 $\text{[math]}$ 的“保值”区间

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的所有“保值”区间

(2) 函数 $\text{[math]}$ 是否存在“保值”区间？若存在，求 $\text{[math]}$ 的取值范围，若不存在，说明理由

解答题困难