已知数列的前n项和．若，且数列满足．

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；

(2) 求证：数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

数列的函数特性; 等差数列概念与表示; 等比数列概念与表示; 等比数列的通项公式; 数列的求和;

【答案】

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解答题困难

1. 设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个等差数列，记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 这s个数中最小的数．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 是等差数列；

(3) 证明：或者对任意实数 $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；或者存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是等差数列．

解答题困难

2. 已知无穷数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 表示3个实数 $\text{[math]}$ 中的最大值）．

（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的可能值；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的所有值；

（Ⅲ）设 $\text{[math]}$ 是非零整数，且 $\text{[math]}$ 互不相等，证明：存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 中有且只有一个数列自第 $\text{[math]}$ 项起各项均为 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的所有项和为 $\text{[math]}$ ，且该数列前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，最后 $\text{[math]}$ 项的和为 $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的项数；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通