已知数列的每一项只能取或1，若数列中含有个“”，含有个“1”，，，则称数列为-组合数列.

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的每一项只能取 $\text{[math]}$ 或1，若数列 $\text{[math]}$ 中含有 $\text{[math]}$ 个“ $\text{[math]}$ ”，含有 $\text{[math]}$ 个“1”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ -组合数列.

(1) 若数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ -组合数列，写出所有符合要求的数列 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 互不相同）为某一 $\text{[math]}$ -组合数列 $\text{[math]}$ 中的任意三项，则 $\text{[math]}$ 的取法有多少种？

(3) 若 $\text{[math]}$ 互不相同）为某一 $\text{[math]}$ -组合数列 $\text{[math]}$ 中的任意三项，其中 $\text{[math]}$ ，则存在多少正整数对 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ？

【考点】

古典概型及其概率计算公式; 排列、组合的实际应用;

【答案】

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解答题困难

1. 盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率为 $\text{[math]}$ ，从中取出2粒都是白子的概率是 $\text{[math]}$ .

(1) 从中取出2粒颜色不同的概率是多少？

(2) 其中黑白棋子各有多少粒？

解答题普通

2. 甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：

①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若 $\text{[math]}$ ，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；

②直接结束抽牌，记 $\text{[math]}$ ，换由乙抽牌一次．

记乙抽到的纸牌上的数字为c，若 $\text{[math]}$ ，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．

(1) 若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；

(2) 若甲抽牌2次，求甲赢的概率；

(3) 当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）

参考公式：若数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩 $\text{[math]}$ ，现规定：成绩在 $\text{[math]}$ 的同学为“成绩顶尖”，在 $\text{[math]}$ 的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.

(1) 已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；

(2) 现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：

(3) 为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.

（参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题普通