A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．

1. A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．

(1) 该校高一学生中男、女生各有多少名？

(2) 若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；

(3) 在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）

【考点】

分层抽样方法; 古典概型及其概率计算公式; 排列、组合的实际应用;

【答案】

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解答题普通

1. 第七届中国国际进口博览会于 2024 年 11 月 5 日至 10 日在上海举办，某公司生产的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个）

	产品 $\text{[math]}$	产品 $\text{[math]}$	产品 $\text{[math]}$
普通装	$\text{[math]}$	180	400
精品装	300	420	600

现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取 100 个，其中 $\text{[math]}$ 款产品有30 个.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 用分层抽样的方法在 $\text{[math]}$ 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取 2 个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率；

(3) 对抽取到的 $\text{[math]}$ 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 $\text{[math]}$ 款产品的某种指标的总体方差（精确到 0.01 ）.

解答题普通

2. 甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：

①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若 $\text{[math]}$ ，则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；

②直接结束抽牌，记 $\text{[math]}$ ，换由乙抽牌一次．

记乙抽到的纸牌上的数字为c，若 $\text{[math]}$ ，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．

(1) 若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；

(2) 若甲抽牌2次，求甲赢的概率；

(3) 当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）

参考公式：若数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩 $\text{[math]}$ ，现规定：成绩在 $\text{[math]}$ 的同学为“成绩顶尖”，在 $\text{[math]}$ 的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”.

(1) 已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）；

(2) 现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率：

(3) 为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由.

（参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题普通