如图所示，平台AB距竖直光滑圆形轨道的C点的竖直高度，竖直光滑圆形轨道半径为。有一质量为小球以初速度从平台的边缘B点水平飞出，恰好沿圆弧轨道C点的切线方向进入圆弧，做圆周运动到达D点时速度为。OC与竖直方向的夹角为（不计空气阻力 g=10m/s2）。求：

1. 如图所示，平台AB距竖直光滑圆形轨道的C点的竖直高度 $\text{[math]}$ ，竖直光滑圆形轨道半径为 $\text{[math]}$ 。有一质量为 $\text{[math]}$ 小球以初速度 $\text{[math]}$ 从平台的边缘B点水平飞出，恰好沿圆弧轨道C点的切线方向进入圆弧，做圆周运动到达D点时速度为 $\text{[math]}$ 。OC与竖直方向的夹角为 $\text{[math]}$ （不计空气阻力 g=10m/s²）。求：

(1) 小球在空中飞行的时间；

(2) 小球的初速度 $\text{[math]}$ ；

(3) 小球对圆弧轨道D点的压力大小。（结果保留两位小数）

【考点】

生活中的圆周运动;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，一长度为L、内壁光滑的细圆筒，其上端封闭，下端固定在竖直转轴的O点，圆筒与水平方向的夹角为θ。原长为 $\text{[math]}$ 的轻质弹簧上端固定在圆筒上端，下端连接一质量为m的小球，小球的直径略小于圆筒直径。当圆筒处于静止状态时，弹簧长度为 $\text{[math]}$ 。重力加速度为g。求：

(1) 弹簧的劲度系数k；

(2) 当弹簧恢复原长时，转轴的角速度ω₁；

(3) 当弹簧的形变量 $\text{[math]}$ 时，转轴的角速度ω。

解答题普通

2. 如图所示，倾角为 $\text{[math]}$ 的斜面体ABC固定在水平面上，一质量为m的小球（视为质点）用长为L的轻质细线悬挂在天花板上的M点，小球静止在N点，N点正好位于B点的正上方。现让小球在竖直面内摆动，当小球运动到N点时，突然剪断细线，小球从N点水平向右飞出落到斜面上的P点。已知N、P两点的连线与斜面垂直，且N、B两点间的高度差为H，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。

(1) 求N、P两点间的距离以及小球从N点运动到P点的平均速度的大小；

(2) 求小球刚到达N点还未剪断细线时细线拉力的大小；

(3) 让小球以不同的速度从N点水平飞出落到斜面上，落点不一定为P点，若 $\text{[math]}$ ，求小球落到斜面上的速度最小时，小球平抛运动过程下落的高度。

解答题困难

3. 一根绳子的两端分别固定在顶板和底板上，两固定点位于同一竖直线上，相距为 $\text{[math]}$ 。一质量为m的小球系于绳上某点，当小球两边的绳均被拉直时，两绳与铅垂线的夹角分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，如图所示。当小球以一定的速度在水平面内做匀速圆周运动时，两绳均被拉直。试问：

(1) 若下面绳子中的张力为零，则小球的速度为多大?

(2) 若小球的速度为（1）中的 $\text{[math]}$ 倍，则上下两段绳中的张力各为多大?

解答题普通