如图1，点O是弹力板MN 上一点，魔法棒从OM 的位置开始绕点O向ON 的位置顺时针旋转.当转到 ON 位置时，则从 ON 位置弹回，继续向OM 位置旋转；当转到OM 位置时，再从OM 的位置弹回，继续转向ON 位置，……，如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM 上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3 ， …例如：当时，的位置如图2所示，其中（恰好落在ON 上，当时，的位置如图3所示，其中第 4 步旋转到 ON 后弹回，即而恰好与重合. 图1 图2 图3 图4解决如下问题：

1. 如图1，点O是弹力板MN 上一点，魔法棒从OM 的位置开始绕点O向ON 的位置顺时针旋转.当转到 ON 位置时，则从 ON 位置弹回，继续向OM 位置旋转；当转到OM 位置时，再从OM 的位置弹回，继续转向ON 位置，……，如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下骤的旋转：第1步，从OA₀（OA₀在OM 上）开始旋转α至OA_1；第2步，从OA₁开始继续旋转2α至OA_2；第3步，从OA₂开始继续旋转3α至OA₃ ， …

例如：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的位置如图2所示，其中（ $\text{[math]}$ 恰好落在ON 上， $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的位置如图3所示，其中第 4 步旋转到 ON 后弹回，即 $\text{[math]}$ 而 $\text{[math]}$ 恰好与 $\text{[math]}$ 重合.

图1 图2 图3 图4

解决如下问题：

(1) 若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数是.

(2) 如图4，若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 求对应的α值.

(3) 如图4，若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所在的射线平分 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ .

(4) 若 $\text{[math]}$ .

【考点】

角的运算; 图形的旋转; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线叫做这个角的三分线.显然，一个角的三分线有两条.如图，∠AOB=90°，OC，OD 是∠AOB 的两条三分线，以点 O为中心，将∠COD 顺时针旋转 n°（n < 90）得到∠C'OD'.当OA 恰好是∠C'OD'的三分线时，求n的值.

解答题普通

2. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数．

解答题困难

3. 如图1，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，将一副三角板的各一锐角顶点放在点 $\text{[math]}$ 上，边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转．

(1) 如图2，三角板 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ 的内部．

①当 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ 时，求旋转时间以及 $\text{[math]}$ 的度数；

② $\text{[math]}$ 的度数是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

(2) 在三角板 $\text{[math]}$ 开始旋转的同时，三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针开始旋转，当三角板 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ 时两个三角板都停止运动，在运动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出所有符合条件的运动时间（本题中所研究的角都是小于等于 $\text{[math]}$ 的角）．

解答题困难