如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．

1. 如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 是“倍根方程”．

(1) 通过计算，判断 $\text{[math]}$ 是否是“倍根方程”；

(2) 已知关于x的一元二次方程： $\text{[math]}$ （m是常数）是“倍根方程”，请求出m的值．

【考点】

因式分解法解一元二次方程; 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）;

【答案】

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解答题普通

1. 如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程 $\text{[math]}$ 的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程 $\text{[math]}$ 的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．

(1) 根据上述定义， $\text{[math]}$ 是“______倍根方程”；

(2) 若关于x的方程 $\text{[math]}$ 是“三倍根方程”，求m的值；

(3) 若关于x的方程 $\text{[math]}$ 是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；

(4) 由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到 $\text{[math]}$ 的最小值是______．（参考公式： $\text{[math]}$ ， x、y均为正数）

解答题困难

2. 定义：如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （a，b，c均为常数， $\text{[math]}$ ）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．

(1) 下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）．

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．

(2) 若 $\text{[math]}$ 是“邻根方程”，求n的值．

(3) 若一元二次方程 $\text{[math]}$ （b，c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b，c满足的数量关系．

解答题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根．

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ；求实数 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 实数 $\text{[math]}$ 在（2）条件下，求代数式 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通