已知

1. 已知 $\text{[math]}$

(1) 若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的值.

(2) 若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

绝对值的概念与意义; 开平方（求平方根）; 开立方（求立方根）; 求代数式的值-直接代入求值;

【答案】

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解答题普通

1. 对于有理数x，y，a，t，若 $\text{[math]}$ ，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则 $\text{[math]}$ ，则2和3关于1的“美好关联数”为3．

(1) $\text{[math]}$ 和5关于2的“美好关联数”为______；

(2) 若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；

(3) 若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于1的“美好关联数”为1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于2的“美好关联数”为1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于3的“美好关联数”为1，…， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于41的“美好关联数”为1，…．

① $\text{[math]}$ 的最小值为______；② $\text{[math]}$ 的值为______．（最小值）

解答题普通

2. 探索研究：

(1) 比较下列各式的大小．（用“ $\text{[math]}$ ”、“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”连接）

① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； ④ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(2) 通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系．

(3) 根据（2）中得出的结论，当 $\text{[math]}$ 时，x的取值范围是；当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 【阅读理解】

$\text{[math]}$ 的几何意义是 $\text{[math]}$ 这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么 $\text{[math]}$ 可以看作 $\text{[math]}$ 这个数在数轴上对应的点到1的距离： $\text{[math]}$ 就可以看作 $\text{[math]}$ 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 $\text{[math]}$ 的最小值．我们先看 $\text{[math]}$ 表示的点可能的3种情况，如图所示：

如图①， $\text{[math]}$ 在1的左边，从图中很明显可以看出 $\text{[math]}$ 到1和2的距离之和大于1

如图②， $\text{[math]}$ 在1和2之间（包括在1，2上），可以看出 $\text{[math]}$ 到1和2的距离之和等于1

如图③， $\text{[math]}$ 在2的右边，从图中很明显可以看出 $\text{[math]}$ 到1和2的距离之和大于1

所以 $\text{[math]}$ 到1和2的距离之和最小值是1

【问题解决】

(1) 类比得出 $\text{[math]}$ 的最小值是________

(2) 请你结合图④探究： $\text{[math]}$ 的最小值是________，此时 $\text{[math]}$ 为________； $\text{[math]}$ 的最小值为________．

(3) 如图⑤，已知整数 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ， 2的距离之和小于4，写出 $\text{[math]}$ 的所有可能取值，并求出它们的和为多少？

解答题普通