对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．

(1) 比较下列各式的大小．（用“ $\text{[math]}$ ”、“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”连接）

① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； ④ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(2) 通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系．

(3) 根据（2）中得出的结论，当 $\text{[math]}$ 时，x的取值范围是；当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

$\text{[math]}$ 的几何意义是 $\text{[math]}$ 这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么 $\text{[math]}$ 可以看作 $\text{[math]}$ 这个数在数轴上对应的点到1的距离： $\text{[math]}$ 就可以看作 $\text{[math]}$ 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 $\text{[math]}$ 的最小值．我们先看 $\text{[math]}$ 表示的点可能的3种情况，如图所示：

如图①， $\text{[math]}$ 在1的左边，从图中很明显可以看出 $\text{[math]}$ 到1和2的距离之和大于1

如图②， $\text{[math]}$ 在1和2之间（包括在1，2上），可以看出 $\text{[math]}$ 到1和2的距离之和等于1

如图③， $\text{[math]}$ 在2的右边，从图中很明显可以看出 $\text{[math]}$ 到1和2的距离之和大于1

所以 $\text{[math]}$ 到1和2的距离之和最小值是1

【问题解决】

(1) 类比得出 $\text{[math]}$ 的最小值是________

(2) 请你结合图④探究： $\text{[math]}$ 的最小值是________，此时 $\text{[math]}$ 为________； $\text{[math]}$ 的最小值为________．

(3) 如图⑤，已知整数 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ， 2的距离之和小于4，写出 $\text{[math]}$ 的所有可能取值，并求出它们的和为多少？

解答题普通

3. 阅读下列两则材料：

材料1

君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的 $\text{[math]}$ 个数： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，称为数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为整数且 $\text{[math]}$ ，

定义： $\text{[math]}$ ，

例如数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

材料2

有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在数轴上对应的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离是 $\text{[math]}$ ；反之， $\text{[math]}$ 表示有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在数轴上对应点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学求 $\text{[math]}$ 的最小值时，利用绝对值的几何意义表示在数轴上 $\text{[math]}$ 对应点到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对应点的距离之和，当 $\text{[math]}$ 时，取到它的最小值 $\text{[math]}$ ，即为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对应点之间的距离．

根据以上材料，回答下列问题：

(1) 已知数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 已知数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 个互不相等的整数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出数列 $\text{[math]}$ ：______；

(3) 已知数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 已知数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 个数均为非负整数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是______．

解答题普通