如图甲所示，竖直固定的无限长直导线右侧有一与之共面的正方形闭合导电线框abcd，线框边长m，由质量均为m、电阻均为Ω的金属杆ab、cd和不计质量与电阻的导电轻杆ad、bc组成，ab边与直导线平行，到直导线的距离m。已知无限长直导线在空间某点产生的磁感应强度与电流I成正比，与该点到直导线的垂直距离x成反比。A的长直导线在空间产生的磁感应强度大小与x的关系如图乙所示。现给直导线通以A的恒定电流，给线框一初始角速度ω按顺时针方向（从上往下看）绕竖直对称轴无摩擦开始转动。求：

1. 如图甲所示，竖直固定的无限长直导线右侧有一与之共面的正方形闭合导电线框abcd，线框边长 $\text{[math]}$ m，由质量均为m、电阻均为 $\text{[math]}$ Ω的金属杆ab、cd和不计质量与电阻的导电轻杆ad、bc组成，ab边与直导线平行，到直导线的距离 $\text{[math]}$ m。已知无限长直导线在空间某点产生的磁感应强度与电流I成正比，与该点到直导线的垂直距离x成反比。 $\text{[math]}$ A的长直导线在空间产生的磁感应强度大小与x的关系如图乙所示。现给直导线通以 $\text{[math]}$ A的恒定电流，给线框一初始角速度ω按顺时针方向（从上往下看）绕竖直对称轴 $\text{[math]}$ 无摩擦开始转动。求：

(1) 线框中心点的磁感应强度大小（结果保留两位小数）；

(2) 线框转过90°时的感应电流方向，并估算此过程中通过线框的电荷量q；

(3) 由于直导线产生的磁场微弱，线框在微弱电磁阻尼作用下缓慢减速，现测得线框转动N（N较小）圈过程产生焦耳热为Q，则此过程线框产生感应电流的有效值多大；以及线框转动1圈，角速度的减小量 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 。（用题中所给的字母表示，可能用到的数学知识：（ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ）

【考点】

磁感应强度; 电磁感应中的磁变类问题; 电磁感应中的能量类问题;

【答案】

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解答题困难

1. 2024年6月2日6时9分，嫦娥六号着陆器在鹊桥二号中继卫星支持下，开始实施动力下降，7500 N变推力主发动机开机，着陆器接触地面前经过喷火反冲减速后关闭主发动机，此时的速度为v₁ ，这一速度仍大于软着陆设计速度v₂ ，为此科学家设计了一种电磁阻尼缓冲装置，其原理如图所示：主要部件为缓冲滑块K及固定在绝缘光滑缓冲轨道MN和PQ上的着陆器主体，着陆器主体中还有超导线圈（图中未画出），能在两轨道间产生垂直于导轨平面的匀强磁场B，导轨内的缓冲滑块由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有n匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为r，ab边长为L，当着陆器接触地面时，滑块K立即停止运动，此后线圈与轨道间的磁场发生作用，使着陆器主体持续做减速运动，从而实现缓冲。已知着陆器主体及轨道的质量为m，缓冲滑块（含线圈）K的质量为M，重力加速度为g，不考虑运动磁场产生的电场，求：

(1) 缓冲滑块刚落地时着陆器主体的加速度大小；

(2) 达到着陆器软着陆要求的设计速度v₂时，地面对缓冲滑块K支持力的大小；

(3) 着陆器主体可以实现软着陆，若从v₁减速到v₂的缓冲过程中，通过线圈的电荷量为q，求该过程中线圈中产生的焦耳热Q。

解答题困难

2. 图甲为超导电动磁悬浮列车（EDS）的结构图，其简化图如图乙，超导磁体与“8”字形线圈之间通过互感产生电磁力将车体悬浮起来。如图丙所示，列车侧面安装的超导磁体产生垂直纸面向里的以虚线框为界的磁场，忽略边缘效应，磁感应强度大小恒为B，磁场的长和宽分别为2l和l。在列车轨道两侧固定安装了“8”字形线圈，每个“8”字形线圈均用一根漆包线绕制而成，匝数为n，电阻为R，水平宽度为l，竖直长度足够大，交叉的结点为P。当列车以速度v匀速前进时

(1) 若磁场的中心O点与线圈结点P等高，求此时线圈中的电流大小；

(2) 若磁场的中心O点比线圈结点P低了h时（ $\text{[math]}$ ，且保持不变），只考虑动生电动势

①在磁场刚进入单个“8”字形线圈时，求线圈对列车阻力的瞬时功率；

②在磁场穿越单个“8”字形线圈的过程中，画出单个“8”字形线圈对列车竖直方向的作用力与时间的关系图，取竖直向上为正方向，磁场刚进入线圈时t=0。

解答题困难

3. 某探究小组设计了如图所示的发电模型，模型由手摇柄、大齿轮、小齿轮、链条、绝缘大圆盘等组成。在大圆盘上对称地固定有四个完全相同的环状扇形线圈 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，每个线圈对应的圆心角为 $\text{[math]}$ ，内径、外径分别为r和3r，圆心在转轴轴线上，线圈匝数均为N，电阻均为R。ab和cd为线圈 $\text{[math]}$ 的两个直边。小齿轮与绝缘大圆盘固定于同一转轴上，转轴轴线位于磁场边界处，方向与磁场方向平行，匀强磁场磁感应强度大小为 $\text{[math]}$ ，方向垂直纸面向里。现匀速转动手摇柄，大齿轮通过链条带动小齿轮和大圆盘转动。不计摩擦，忽略磁场边界处的磁场，若大圆盘逆时针匀速转动的角速度大小为 $\text{[math]}$ ，求：

(1) 线圈 $\text{[math]}$ 的ab边刚进入磁场时，产生电动势E的大小；

(2) 线圈 $\text{[math]}$ 的ab边刚进入磁场时，线圈 $\text{[math]}$ 受到的安培力F的大小；

(3) 从线圈 $\text{[math]}$ 的ab边刚进入磁场到cd边刚进入磁场，线圈 $\text{[math]}$ 产生的焦耳热 $\text{[math]}$ 。

解答题普通