如图，在三棱锥中，平面平面，，为BD的中点，是边长为1的等边三角形，且.

1. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为BD的中点， $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的高；

(2) 求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；

(3) 在棱AD上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ？若存在，并求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

【考点】

平面的法向量; 用空间向量研究直线与平面所成的角; 用空间向量研究二面角; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，四棱雉 $\text{[math]}$ 的底面是矩形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

解答题普通

2. 如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面边长为2，高为4.

(1) 证明： $\text{[math]}$

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

解答题普通

3. 在长方体 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ ， M，N分别是AD， $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 证明：MN与平面BCN不垂直．

(2) 求MN与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

解答题普通