帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足．注：．设函数在处的阶帕德近似为．

1. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的 $\text{[math]}$ 阶帕德近似为 $\text{[math]}$ ，该函数满足 $\text{[math]}$ ．

注： $\text{[math]}$ ．

设函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的 $\text{[math]}$ 阶帕德近似为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(3) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极大值点，求k的取值范围．

【考点】

导数的四则运算; 利用导数研究函数的单调性; 函数在某点取得极值的条件;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在其定义域内不存在极值，求实数 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

2. 记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的导函数．若存在 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一个“ $\text{[math]}$ 点”．

(1) 证明：函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不存在“ $\text{[math]}$ 点”；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 存在“ $\text{[math]}$ 点”，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若存在实数 $\text{[math]}$ ，使函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内存在“ $\text{[math]}$ 点”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的极大值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难