某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度?组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等.他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：方案方案①方案②测量示意图测量说明如图①，观测者从点A出发，沿着与直线BA成70°角的AC方向前进至点C，在点C处测得∠CBA=35°测量出AC的长度.如图（2），观测者从点向正东走到点，是AE的中点，从点沿垂直于AE的EF方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出EF的长度.测量结果∠CAD=70°，∠CBA=35°，4C=20m.

1. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：

项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度

问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度?

组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等.他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：

方案	方案①	方案②
测量示意图
测量说明	如图①，观测者从点A出发，沿着与直线BA成70°角的AC方向前进至点C，在点C处测得∠CBA=35°测量出AC的长度.	如图（2），观测者从 $\text{[math]}$ 点向正东走到 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 是AE的中点，从点 $\text{[math]}$ 沿垂直于AE的EF方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出EF的长度.
测量结果	∠CAD=70°，∠CBA=35°， 4C=20m.	$\text{[math]}$

(1) 根据方案（1），河宽AB的长度为米.

(2) 方案（2）的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为EF的长就是所求河宽AB的长，请你根据所学的知识，给出证明.

【考点】

三角形的外角性质; 等腰三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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实践探究题普通

1. 某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案。

组别	方案
甲组	①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②沿河岸直行15m处有一棵树C，继续前行15m到达点D处；③从点D处沿河岸垂直的DE方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时（即点A、C、E在同一直线上），停止行走；④测得DE的长为10m.
乙组	①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②从点B出发，沿着与直线AB成50°角的BC方向前进到C处，在C处测得∠C=25°，③量出BC的长，它就是河宽（即点A，B之间的距离）
问题解决
⑴根据甲组的方案，①河的宽度是 ▲ m；②请说明他们做法的正确性（需写出说理过程）
⑵根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？

实践探究题普通

2. 在△ABC中，点D在直线AB上，点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，∠EAB+∠DCF=180°．

(1) 【问题解决】

如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC=BE；

(2) 【类比探究】

如图2，若点D在线段AB上，请直接写出线段AD、BC与BE之间存在怎样的数量关系；

(3) 【拓展延伸】

如图3若点D在线段AB的延长线上，请探究线段AD、BC与BE之间的数量关系，并证明．

实践探究题普通

3. 邯郸市某初中数学小组为测量到河正对岸电线塔距离，设计如下方案：

主题	测量到河正对岸电线塔距离 $\text{[math]}$
工具	自己脚步
人员	组长：xxx；组员：xxx
实物及示意图
方案	组员从A以相同的步子先向正西方向到达电线杆C处，接着继续向正西方向走到D处，然后再向正南方向行走到E处，此时电线杆C、电线塔B与组员E在同－条直线上．
数据	$\text{[math]}$ 步， $\text{[math]}$ 步， $\text{[math]}$ 步
评价

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若该组员一步大约 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

实践探究题普通