定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：

1. 定义：若无理数 $\text{[math]}$ 的被开方数（ $\text{[math]}$ 为正整数）满足 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为正整数），则称无理数 $\text{[math]}$ 的“共同体区间”为 $\text{[math]}$ ．例如：因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的“共同体区间”为 $\text{[math]}$ ．请回答下列问题：

(1) $\text{[math]}$ 的“共同体区间”为________；

(2) 若无理数 $\text{[math]}$ 的“共同体区间”为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“共同体区间”；

(3) 若整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足关系式： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“共同体区间”．

【考点】

无理数的估值; 算术平方根的性质（双重非负性）;

【答案】

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解答题普通

1. 新定义：若无理数 $\text{[math]}$ 的被开方数（T为正整数）满足 $\text{[math]}$ （其中n为正整数），则称无理数 $\text{[math]}$ 的“青一区间”为 $\text{[math]}$ ；同理规定无理数 $\text{[math]}$ 的“青一区间”为 $\text{[math]}$ ，例如：因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的“青一区间”为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“青一区间”为 $\text{[math]}$ ，请回答下列问题：

(1) $\text{[math]}$ 的“青一区间”为； $\text{[math]}$ 的“青一区间”为；

(2) 实数x，y，满足关系式： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“青一区间”．

解答题普通

2. 【数学中的阅读理解】对于实数 $\text{[math]}$ ，我们规定：用符号 $\text{[math]}$ 表示不大于 $\text{[math]}$ 的最大整数，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的根整数，例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 仿照以上方法计算： $\text{[math]}$ ________， $\text{[math]}$ ________；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，写出满足题意的 $\text{[math]}$ 的整数值________；

(3) 如果我们对 $\text{[math]}$ 连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次 $\text{[math]}$ ，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，________之后结果是1；

(4) 只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中，最大的是________．

解答题普通

3. 阅读下面文字，解答问题．

$\text{[math]}$ 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用 $\text{[math]}$ 表示它的小数部分，理由是： $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，

又例如：因为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ ．

参考小明的做法解答：

(1) 如果 $\text{[math]}$ 的整数部分为m，小数部分为n，则 $\text{[math]}$ _______；

(2) 如果 $\text{[math]}$ ，其中x是整数，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _______．

解答题普通