某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.

1. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为 $\text{[math]}$ 米、圆心角为60°的扇形 $\text{[math]}$ 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，另两个顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在弧 $\text{[math]}$ 、线段 $\text{[math]}$ 上.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求此红旗图案的面积 $\text{[math]}$ ；（精确到 $\text{[math]}$ ）

(2) 求组成的红旗图案的最大面积.（精确到 $\text{[math]}$ ）

【考点】

简单的三角恒等变换; 含三角函数的复合函数的值域与最值;

【答案】

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解答题普通

1. 如图1，在扇形 $\text{[math]}$ 中，半径 $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是扇形弧上的动点，矩形 $\text{[math]}$ 内接于扇形.记 $\text{[math]}$ ，

(1) 当角 $\text{[math]}$ 取何值时，矩形 $\text{[math]}$ 的面积最大？并求出这个最大面积.

(2) 已知条件不变，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （如图2），求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

(3) 若过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的扇形的切线与过点 $\text{[math]}$ 的切线分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （如图3），求五边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值 .

解答题普通

2. 如图，在扇形 $\text{[math]}$ 中，半径 $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 内接于该扇形，其中点 $\text{[math]}$ 分别在半径 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，记矩形 $\text{[math]}$ 的面积为S.

(1) 当点 $\text{[math]}$ 分别为半径 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点时，求S的值；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 单调， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的解析式；

(3) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难