如图，是底面边长为1的正三棱锥，、、分别为棱、、上的动点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（注：棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

1. 如图， $\text{[math]}$ 是底面边长为1的正三棱锥， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，截面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且棱台 $\text{[math]}$ 与棱锥 $\text{[math]}$ 的棱长和相等.（注：棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

(1) 当 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点时，求棱台 $\text{[math]}$ 的体积；

(2) 求在二面角 $\text{[math]}$ 的变化过程中，线段 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上投影所扫过的平面区域的面积；

(3) 设常数 $\text{[math]}$ ，称较小内角为 $\text{[math]}$ 的菱形为 $\text{[math]}$ -菱形.当点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上运动（不含端点）时，总存在底面为 $\text{[math]}$ -菱形的直平行六面体，使得它与棱台 $\text{[math]}$ 有相同的体积，也有相同的棱长和，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

利用导数研究函数最大（小）值; 含三角函数的复合函数的值域与最值; 台体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题困难

1. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C： $\text{[math]}$ 上的曲线段 $\text{[math]}$ ，其弧长为 $\text{[math]}$ ，当动点从A沿曲线段 $\text{[math]}$ 运动到B点时，A点的切线 $\text{[math]}$ 也随着转动到B点的切线 $\text{[math]}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $\text{[math]}$ （它等于 $\text{[math]}$ 的倾斜角与 $\text{[math]}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\text{[math]}$ 为曲线段 $\text{[math]}$ 的平均曲率；显然当B越接近A，即 $\text{[math]}$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 $\text{[math]}$ （若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 $\text{[math]}$ 在点A处的一阶、二阶导数）

(1) 求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

(2) 求椭圆 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的曲率；

(3) 定义 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 的“柯西曲率”．已知在曲线 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的最大值；

(3) 若直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于M点， $\text{[math]}$ 于点H，求线段 $\text{[math]}$ 长的最小值．

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值；

（Ⅱ）若存在 $\text{[math]}$ 使不等式 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难