在平面直角坐标系中，抛物线和与轴的交点分别为，和，，抛物线，的顶点分别用，表示，其中点，，的坐标分别为，，．

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点分别用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示，其中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，

①求抛物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的解析式；

②求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，如图 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是抛物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的对称轴．

①直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由；

② $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 等腰三角形的判定与性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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解答题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴 $\text{[math]}$ 交x轴于点E，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出a的值，点A的坐标；

(2) 若点M是抛物线对称轴 $\text{[math]}$ 上的点，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求点M的坐标；

(3) 点P是抛物线上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点 $\text{[math]}$ 处．直接写出点 $\text{[math]}$ 恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上时点P的横坐标．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 $\text{[math]}$ 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，如图所示：抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 求抛物线的解析式；

(3) 在抛物线上是否还存在点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 除外），使 $\text{[math]}$ 仍然是以 $\text{[math]}$ 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 已知一个二次函数的图象的顶点坐标是 $\text{[math]}$ ，且图象经过点 $\text{[math]}$

(1) 求这个二次函数的解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求y的最大值．

解答题普通