小明在某景区看到一个标志性建筑物－－拱门观光台（如图1），拱门的形状近似于抛物线的一部分，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米．小明在图2中建立平面直角坐标系．请你结合数据，帮他求出拱门的高度（拱门的最高点到地面的距离）．

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1. 小明在某景区看到一个标志性建筑物－－拱门观光台（如图1），拱门的形状近似于抛物线的一部分，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米．小明在图2中建立平面直角坐标系．请你结合数据，帮他求出拱门的高度（拱门的最高点到地面的距离）．

【考点】

二次函数的实际应用-拱桥问题;

【答案】

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综合题容易

基础巩固

能力提升

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拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，一座石桥的主桥拱是类抛物线形，某时刻测得水面 $\text{[math]}$ 的宽度为 $\text{[math]}$ ，拱高（ $\text{[math]}$ 的中点到水面的距离） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．求图像的解析式．

综合题容易

2. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 $\text{[math]}$ 时，水面宽 $\text{[math]}$ ，若水面下降 $\text{[math]}$ ，求水面宽度为多少．

综合题容易

3. 某涵洞的截面是抛物线形，当拱顶离水面 $\text{[math]}$ 时，水面 $\text{[math]}$ 宽 $\text{[math]}$ （如图1）．水面降 $\text{[math]}$ 后，水面宽度为多少米？请利用图2所示平面直角坐标系解决问题．（保留根号）

综合题容易

1. 如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段 $\text{[math]}$ 表示水平的路面，根据设计要求： $\text{[math]}$ ，该抛物线的顶点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ．

(1) 请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2) 现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处分别安装照明灯）．若要求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处的照明灯水平距离为 $\text{[math]}$ ，求照明灯的高度．

综合题普通

2. 如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面 $\text{[math]}$ ，水面宽 $\text{[math]}$ ．以现有水平面的水平直线为 $\text{[math]}$ 轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系．

(1) 求此抛物线解析式；

(2) 如图（1），若水面下降 $\text{[math]}$ ，水面宽度增加多少 $\text{[math]}$ ？

(3) 如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为露出水面的端点，若确保点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的间距不少于 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大长度．

综合题普通

3. 如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到 $\text{[math]}$ 点的水平距离为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）时，它距地面的竖直高度为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）．

(1) 经过对拱门进行测量，发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组数据如下：

$\text{[math]}$	2	3	6	8	10	12
$\text{[math]}$	4	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	4	0

根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部两个端点间的距离），并求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足的函数关系式．

(2) 在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与它到 $\text{[math]}$ 点的水平距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）近似满足函数关系 $\text{[math]}$ ，若记原拱门的跨度为 $\text{[math]}$ ，新拱门的跨度为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）．

综合题普通

1. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 $\text{[math]}$ 时，水面宽 $\text{[math]}$ ，如果水面下降 $\text{[math]}$ ，那么水面宽度增加（）m．

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为 $\text{[math]}$ ，当水面离桥顶的高度为 $\text{[math]}$ 米时，水面的宽度为（）

A. $\text{[math]}$ 米 B. $\text{[math]}$ 米 C. $\text{[math]}$ 米 D. $\text{[math]}$ 米

单选题普通

3. 如图是某拋物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为 $\text{[math]}$ ，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圏间的水平距离EF为米.

填空题普通

1. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：

(1) 如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，求该抛物线的解析式；

(2) 若需要开一个截面为矩形的门（如图所示），已知门的高度为 $\text{[math]}$ 米，那么门的宽度最大是多少米（不考虑材料厚度）?（结果保留根号）

综合题普通

2. 如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为 $\text{[math]}$ ，两主塔塔顶距桥面的高度为 $\text{[math]}$ ，主索最低点P离桥面的高度为 $\text{[math]}$ ，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1) 求这条抛物线对应的函数表达式；

(2) 若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点 $\text{[math]}$ 处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．

（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；

（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．

综合题普通

3. 某数学兴趣小组在学习二次函数知识后进行研究活动，调查到有一座三孔桥，横截面的三个孔呈抛物线形，中间大孔，两边小孔，小孔形状大小完全相同，当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 $\text{[math]}$ 米，孔顶离水面1米；当水位下降，大孔水面宽度为 $\text{[math]}$ 米时，单个小孔的水面宽度为 $\text{[math]}$ 米．为方便研究，小组同学以大孔顶点为坐标原点，水平方向为 $\text{[math]}$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1) 求大孔对应抛物线的解析式．

(2) 当大孔水面宽度为 $\text{[math]}$ 米时，大孔孔顶离水面多少米?

(3) 当大孔水面宽度为 $\text{[math]}$ 米时，单个小孔水面宽度多少米?

综合题普通

1. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）

A. 4 $\text{[math]}$ 米 B. 5 $\text{[math]}$ 米 C. 2 $\text{[math]}$ 米 D. 7米

单选题普通

2. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米.

填空题普通

3. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1	图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．
素材2	为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1	确定桥拱形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	探究悬挂范围	在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3	拟定设计方案	给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．

实践探究题普通