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1.

(1) 发现：如图①所示，在正方形ABCD中，点E， F分别是AB， AD上的两点，连接DE， CF，DE⊥CF. 则 $\text{[math]}$

(2) 探究：如图②，在矩形ABCD中， E为AD边上一点，且 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 沿BE 翻折到 $\text{[math]}$ 处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且 $\text{[math]}$ ①求CH 的长； ②求AE的长.

(3) 拓展：如图③，在菱形ABCD中， AB=6， E为CD边上的一点且 $\text{[math]}$ 沿AE翻折得到△AFE， AF 与CD交于H且 $\text{[math]}$ 直线EF交直线BC于点 P，求 PE 的长.

【考点】

勾股定理; 菱形的性质; 矩形的性质; 正方形的性质; 三角形全等的判定-AAS; 全等三角形中对应边的关系; 相似三角形的判定-AA; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点P从点A开始沿边 $\text{[math]}$ 向终点B以 $\text{[math]}$ 的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边 $\text{[math]}$ 向终点C以 $\text{[math]}$ 的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．

(1) 分别用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ；

(2) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 的长度等于 $\text{[math]}$ ？

(3) 是否存在t的值，使得五边形 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

综合题普通

2. 如图，已知矩形 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某一时刻，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动；同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) 填空： $\text{[math]}$ ________ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ________ $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

(2) 当 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 当 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 当 $\text{[math]}$ 的面积等于矩形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 时，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

3. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度 $\text{[math]}$ 为12米，现在 $\text{[math]}$ 点为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴建立直角坐标系（如图所示）．

(1) 求出这条抛物线的函数解析式；

(2) 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 点在拋物线上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 点在地面 $\text{[math]}$ 上，设 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ________， $\text{[math]}$ ________．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

(3) 为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度之和的最大值是多少？

综合题普通