已知函数，对于任意的，都有，当时，，且.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的值域；

(3) 设函数 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 有4个不同的解，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

函数的值域; 函数单调性的判断与证明; 抽象函数及其应用; 函数的值;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(2) 求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足条件 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 用单调性定义证明：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

3. 如图，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成两部分，记左侧部分的多边形为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 各边长的平方和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 各边长的倒数和为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）分别求函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在该区间上均单调递减？若存在，求 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，说明理由.

解答题困难