已知函数，对于任意的，都有，当时，，且.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的值域；

(3) 设函数 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 有4个不同的解，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

函数的值域; 函数单调性的判断与证明; 抽象函数及其应用; 函数的值;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(2) 求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足条件 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 用单调性定义证明：函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

3. 已知关于x的函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值 $\text{[math]}$ ；

(2) 如果函数 $\text{[math]}$ 同时满足：

①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；

②在函数的定义域内存在区间 $\text{[math]}$ ，使得函数在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ ．

则我们称函数 $\text{[math]}$ 是该定义域上的“闭函数”．

（i）若关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是“闭函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（ii）判断（1）中 $\text{[math]}$ 是否为“闭函数”？若是，求出 $\text{[math]}$ 的值或关系式；若不是，请说明理由．

解答题困难