如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求：

1. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为 $\text{[math]}$ ，求：

(1) 剩余部分几何体的体积；

(2) 剩余部分几何体的表面积.

【考点】

组合几何体的面积、表面积、体积问题; 棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用; 圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用; 柱体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题容易

1. 正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高和底面边长均为4， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点

(1) 求该棱锥的表面积；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．

解答题普通

2. 如图，梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .现选择梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积.

注：若有多种选择分别解答，按第一种选择的解答给分.

解答题普通

3. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ .养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 $\text{[math]}$ （高不变）；二是高度增加 $\text{[math]}$ （底面直径不变）.

(1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

(2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

(3) 哪个方案更经济些？

解答题普通