在平面直角坐标系中，放置一个矩形，使矩形的一个顶点和坐标原点重合，点和点分别在第一和第四象限内，若点和点的纵坐标满足“”，则称矩形具有“条件”．如图，矩形中，，．

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1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，放置一个矩形 $\text{[math]}$ ，使矩形的一个顶点 $\text{[math]}$ 和坐标原点重合，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别在第一和第四象限内，若点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的纵坐标满足“ $\text{[math]}$ ”，则称矩形 $\text{[math]}$ 具有“条件 $\text{[math]}$ ”．如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当矩形 $\text{[math]}$ 具有“条件0”，求此时点 $\text{[math]}$ 坐标；

(2) 当矩形 $\text{[math]}$ 具有“条件1”，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴所夹角的正弦值；

(3) 若矩形 $\text{[math]}$ 具有“条件 $\text{[math]}$ ”，当点 $\text{[math]}$ 在第一象限内，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

公式法解一元二次方程; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知长方形 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某一时刻，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动；同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动，问：

(1) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ？

(2) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的面积等于长方形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？

解答题普通

2. 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．

【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④

【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取 $\text{[math]}$ 的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面 $\text{[math]}$ 与地面距离为 $\text{[math]}$ ，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ $\text{[math]}$ 时可将凳高调整为 $\text{[math]}$ ．

【驱动任务三】

根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长的木棒恰好能截成 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则成品桌子的高度 $\text{[math]}$ 为________ $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 如图，一辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工厂厂门（上方为半圆）已知卡车高为3.0米，宽为1.6米，说明你的理由．

解答题普通