如图所示，在矩形ABCD区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AD边长为L，AB边长为。一质量为m、带电荷量为q的正粒子从A点沿纸面以与AD成30°角的方向射入磁场，粒子在磁场中运动的轨迹恰好与CD相切，不计粒子所受的重力。

1. 如图所示，在矩形ABCD区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AD边长为L，AB边长为 $\text{[math]}$ 。一质量为m、带电荷量为q的正粒子从A点沿纸面以与AD成30°角的方向射入磁场，粒子在磁场中运动的轨迹恰好与CD相切，不计粒子所受的重力。

(1) 求粒子射入磁场时的速度大小 $\text{[math]}$ ；

(2) 求粒子在磁场中运动的时间t；

(3) 若仅减小粒子射入磁场时的速度大小，求粒子在磁场中运动的最长时间 $\text{[math]}$ 。

【考点】

带电粒子在有界磁场中的运动;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，在无重力场的宇宙空间里（处于此空间的物体不受重力）有一xOy直角坐标系，在Ⅰ、Ⅳ象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度 $\text{[math]}$ 。有一轻质绝缘光滑细杆处于y轴上，其下端在O点处，细杆长度h＝0.15m，在细杆的上端部套有一质量 $\text{[math]}$ ，带电荷量 $\text{[math]}$ 的带孔小球，小球可以在细杆上自由滑动。在x轴下方有一平行于y轴，长度为L（L未知）的挡板PQ，P点处于x轴上，其坐标为 $\text{[math]}$ 。现在细杆上施加一大小可调、方向沿x轴正方向的水平外力使细杆沿x轴正向做匀速运动。不计一切摩擦。

(1) 若细杆以v＝1m/s的速度沿x轴正向做匀速运动，求小球在细杆上运动的加速度大小。

(2) 改变细杆沿x轴正向做匀速运动的速度大小，恰好使小球在x轴上坐标为 $\text{[math]}$ 的M点脱离细杆，求细杆沿x轴正向匀速运动的速度大小和小球在细杆上运动过程中水平外力做的功W。

(3) ①在上述（2）问中，小球在x轴上M点脱离细杆后进入Ⅳ象限，恰能从挡板的右侧击中板的下端点Q，求挡板PQ的长度L；②要使小球一定能击中挡板，求细杆沿x轴正向匀速运动的速度大小范围。

解答题困难

2. 如图甲所示，在水平面内建立xOy坐标系， $\text{[math]}$ 区域内有竖直向上的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q的带负电荷的粒子，从x轴上的P点以垂直于磁场的速度v射入第一象限，从y轴上某点垂直于y轴射出磁场区域。已知速度v与x轴正方向的夹角 $\text{[math]}$ ，不计粒子的重力，P点与原点O之间的距离为a。

（1）求磁感应强度B的大小；

（2）若将粒子速度的大小改为 $\text{[math]}$ ， θ角可变，求粒子在磁场中运动的最短时间。

（3）如图乙所示，过O点竖直向上建立z轴，速度大小为v的粒子从P点斜向上射入磁场，速度方向在xOy平面内的投影沿PD方向，PD与x轴正方向夹角为 $\text{[math]}$ ，若使粒子恰好不离开磁场，求粒子经过yoz平面时的坐标。

解答题困难

3. 如图所示，在xOy坐标平面的第三象限内存在一个与x轴平行的线状粒子源S，其长度为2R，右端紧靠y轴，可以连续不断地产生沿粒子源均匀分布的电量为+q、质量为m的无初速粒子。粒子经y方向的匀强电场加速获得初速度v₀后，进入一垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域。该圆形磁场区域与y轴相切，圆心O'坐标为（ $\text{[math]}$ ， 0）。在xOy坐标平面的第一象限内依次存在三个宽度均为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域I、Ⅱ、Ⅲ，三区域的磁感应强度之比为6∶2∶1，区域Ⅲ的右边界安装了一竖直接地挡板，可吸收打在板上的粒子。已知对准O'射入圆形磁场的粒子将沿着x轴射出；从O点射出、方向与x轴成30°的粒子刚好经过区域I的右边界（未进入区域Ⅱ）。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求：

(1) 圆形磁场的磁感应强度大小B₀；

(2) I区域的磁感应强度大小B₁；

(3) 若能从O点出射、方向与x轴成θ的粒子刚好经过区域Ⅱ的右边界（未进入区域Ⅲ），求θ的正弦值；

(4) 若某段时间内从线状离子源飘出N个粒子，求能打在挡板上的粒子数。

解答题困难