如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

1. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

(1) 如图1， $\text{[math]}$ 是等腰锐角三角形， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条特异线，则 $\text{[math]}$ _______度；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点D，交 $\text{[math]}$ 于点E，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条特异线．

(3) 如图3，已知 $\text{[math]}$ 是特异三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为钝角，直接写出所有可能的 $\text{[math]}$ 的度数．

【考点】

三角形内角和定理; 线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的判定与性质;

【答案】

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证明题普通

1. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的等腰分割线．

(1) 如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条等腰分割线．

(2) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你用两种不同的方法完成 $\text{[math]}$ 的等腰分割，并在图中标注底角的度数．

证明题普通

2. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．

已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

求作：线段 $\text{[math]}$ ，使得线段 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分割成两个等腰三角形．

下面是小明设计的尺规作图的作法：

①作直角边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，与斜边 $\text{[math]}$ 相交于点D；

②连接 $\text{[math]}$ ．

则线段 $\text{[math]}$ 为所求．

完成下面的证明．

证明：∵直线 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，点D在直线 $\text{[math]}$ 上，

∴ $\text{[math]}$ ．（）（填推理的依据）

∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．（）（填推理的依据）

∴ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰三角形．

证明题普通

3. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

(1) 如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；

(2) 如图2，若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．

证明题困难