水星是地球上最难观测的行星，因为它离太阳太近，总是湮没在太阳的光辉里，只有水星和太阳的距角（地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角）达最大时即大距（如图），公众才最有希望目睹水星。2023年1月30日凌晨，上演今年首次水星大距。若视水星、地球公转轨道为圆形，水星大距时，水星和太阳的距角为，地球公转的周期T为1年，地球球体半径为R，据此可知（）

1. 自“天空立法者”开普勒发现了开普勒三大定律后，人们对宇宙的探索从未停止。如图所示为行星P的运行轨道，F为焦点（太阳），a、b、 $\text{[math]}$ 分别为半长轴，半短轴和焦距，O为椭圆中心。根据万有引力定律，行星和太阳间的引力势能为 $\text{[math]}$ ，其中G为引力常量，M为太阳的质量，m为行星的质量，r为太阳到行星的距离。行星P在A、B两点的瞬时速度为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（　　）

A. $\text{[math]}$ B. P在椭圆轨道的机械能为 $\text{[math]}$ C. P在椭圆轨道的机械能为 $\text{[math]}$ D. 行星P绕F运动的周期 $\text{[math]}$

多选题普通

1. 战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、土五颗行星“出没”的规律。现在我们知道（　　）

A. 恒星都是静止不动的 B. 行星绕太阳做圆周运动 C. 行星绕太阳运行的速率不变 D. 各行星绕太阳运行的周期不同

单选题普通

2. 如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨道为椭圆，哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986年，预计哈雷彗星下次回归到近日点将在2061年。已知椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离是地球公转轨道半径R的0.6倍，则椭圆轨道远日点到太阳的距离为（　　） $\text{[math]}$

A. 17.2R B. 17.8R C. 35R D. 36R

单选题普通

3. 如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨道为椭圆，哈雷彗星最近出现在近日点的时间是1986年，预计哈雷彗星下次回归到近日点将在2061年。已知椭圆轨道的近日点到太阳中心的距离是地球公转轨道半径R的0.6倍，则椭圆轨道远日点到太阳的距离为 $\text{[math]}$ （　　）

A. 17.2R B. 17.8R C. 35R D. 36R

单选题普通

1. 圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

(1) 如图1所示，卫星在近地轨道I上围绕地球的运动，可视作匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道I上的运行速度大小v。

(2) 在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道I进入椭圆轨道Ⅱ。卫星绕地球沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，我们可以借用开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）来研究。如图2所示，卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道上运动。已知：卫星经过M点时，其与地心的距离为r_M ，速度大小为v_M ，方向与r_M夹角为α；卫星经过N点时，其与地心的距离为r_N ，速度大小为v_N ，方向与r_N夹角为β；试求：v_M∶v_N

(3) 如图3所示，在地球表面，以与竖直方向成α角的方向发射一导弹，其初速度 $\text{[math]}$ 。已知导弹的运动遵循开普勒第二定律，发射后的轨迹为以地心为焦点的椭圆轨道的一部分，求导弹上升距地面的最大高度。（已知地球与其附近距地心r，质量为m的物体组成的系统具有的引力势能为 $\text{[math]}$ ，忽略空气阻力和地球自转的影响）。

解答题普通

2. 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。

(1) 如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为 $\text{[math]}$ ，在远地点D的速度为 $\text{[math]}$ ，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算 $\text{[math]}$ 的数值；

②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？

(2) 我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。

①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为： $\text{[math]}$ ，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（ $\text{[math]}$ ）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚；

②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）