2024年10月1日晚，香港国庆烟花汇演在维多利亚港（维港）上空如期举行，庆祝中华人民共和国75周年华诞，山河无恙。若某枚烟花弹从地面以v0=20m/s的速度竖直向上射出，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2 ，以地面为重力势能的零势能面。

1. 2024年10月1日晚，香港国庆烟花汇演在维多利亚港（维港）上空如期举行，庆祝中华人民共和国75周年华诞，山河无恙。若某枚烟花弹从地面以v₀=20m/s的速度竖直向上射出，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s² ，以地面为重力势能的零势能面。

(1) 求该烟花弹上升的最大高度h；

(2) 该烟花弹的重力势能为动能 $\text{[math]}$ 倍时，求该烟花弹的速度大小v₁。

【考点】

机械能守恒定律;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，轨道由倾角为 $\text{[math]}$ 的斜面和半径为R的半圆弧两部分连接组成，连接点M处有一轻质定滑轮，圆心O在斜面的延长线上，N为圆弧最低点且 $\text{[math]}$ ，斜面的底端固定一挡板P。物块B、C间由一轻质弹簧拴接置于斜面上（弹簧平行于斜面），其中C紧靠在挡板P处，B用跨过滑轮的不可伸长的轻绳与小球A相连，开始时将小球A锁定在M处，此时轻绳与斜面平行，且恰好伸直但无张力，B、C处于静止状态。某时刻解锁小球A，当小球A沿圆弧运动到最低点N时（物块B未到达M点），物块C对挡板的作用力恰好为0。已知小球A的质量为 $\text{[math]}$ ，物块B、C的质量均为 $\text{[math]}$ ，重力加速度为g，小球与物块均可视为质点，不计一切摩擦。求：

（1）弹簧的劲度系数k；

（2）小球到达N点时，物块A、B的速度大小。

解答题普通

2. 某游乐场的游乐装置可简化为如图所示的竖直面内轨道 $\text{[math]}$ ，左侧为半径 $\text{[math]}$ 的光滑圆弧轨道 $\text{[math]}$ ，轨道的上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角 $\text{[math]}$ ，下端点C与粗糙水平轨道 $\text{[math]}$ 相切， $\text{[math]}$ 为倾角 $\text{[math]}$ 的光滑倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点处的挡板上。现有质量为 $\text{[math]}$ 的小滑块P（可视为质点）从空中的A点以 $\text{[math]}$ 的初速度水平向左抛出，恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道 $\text{[math]}$ 滑动，经过D点（不计经过D点时的能量损失）后沿倾斜轨道向上运动至F点（图中未标出），弹簧恰好压缩至最短。已知C、D之间和D、F之间距离都为 $\text{[math]}$ ，滑块与轨道 $\text{[math]}$ 间的动摩擦因数为 $\text{[math]}$ ，不计空气阻力。求：

（1）小滑块P经过圆弧轨道上B点的速度大小；

（2）小滑块P到达圆弧轨道上的C点时对轨道压力的大小；

（3）弹簧的弹性势能的最大值。

解答题普通

3. 如图所示， $\text{[math]}$ 是倾角 $\text{[math]}$ 的光滑倾斜轨道， $\text{[math]}$ 是一个水平轨道， $\text{[math]}$ 两点间的距离 $\text{[math]}$ ，物体与水平轨道间的动摩擦因数为 $\text{[math]}$ 。竖直平面内的光滑圆形轨道半径 $\text{[math]}$ ，圆形轨道最低点与水平面相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 是圆形轨道最高点。一质量 $\text{[math]}$ 的物体（可看成质点），从斜面上 $\text{[math]}$ 点由静止释放，恰好能沿圆形轨道运动一圈后向右离开（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 略微错开，间距忽略），物体经过 $\text{[math]}$ 点时无机械能损失。水平轨道离水平地面 $\text{[math]}$ 高度差为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 点与 $\text{[math]}$ 点在同一竖直线上。求：

（1）物体经过 $\text{[math]}$ 点时的速度大小；

（2）物体到 $\text{[math]}$ 点时，轨道对物体的支持力大小；

（3） $\text{[math]}$ 的长度 $\text{[math]}$ ；

（4）改变 $\text{[math]}$ 的长度，若落点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值。

解答题普通