小聪看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，他对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图2所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．

1. 小聪看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，他对此展开研究：测得喷水头P距地面 $\text{[math]}$ ，水柱在距喷水头P水平距离 $\text{[math]}$ 处达到最高，最高点距地面 $\text{[math]}$ ；建立如图2所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是水柱距喷水头的水平距离， $\text{[math]}$ 是水柱距地面的高度．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 小聪站在水柱正下方且距喷水头P水平距离 $\text{[math]}$ ，身高 $\text{[math]}$ 的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小聪与哥哥的水平距离．

【考点】

二次函数的实际应用-喷水问题;

【答案】

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解答题普通

1. 某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m．

(1) 以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式；

(2) 要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．

解答题普通

2. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

解答题普通

3. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的 $\text{[math]}$ （向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ．如果她从点 $\text{[math]}$ 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度 $\text{[math]}$ （单位：米）与水平距离 $\text{[math]}$ （单位：米）近似满足函数关系式 $\text{[math]}$ ．

水平距离 $\text{[math]}$	3	$\text{[math]}$	4	4.5
竖直高度 $\text{[math]}$	10	11.25	10	6.25

(1) 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离 $\text{[math]}$ 与竖直高度 $\text{[math]}$ 的几组数据如上：根据上述数据，直接写出 $\text{[math]}$ 的值为______，直接写出满足的函数关系式：______；

(2) 比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 近似满足函数关系： $\text{[math]}$ ，记她训练的入水点的水平距离为 $\text{[math]}$ ；比赛当天入水点的水平距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ （填 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

(3) 在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点 $\text{[math]}$ 开始计时，若点 $\text{[math]}$ 到水平面的距离为 $\text{[math]}$ ，则她到水面的距离 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 之间近似满足 $\text{[math]}$ ，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的 $\text{[math]}$ 动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？

解答题普通