陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题：

1. 陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题：

(1) 探究：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；

②数轴上表示 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两点之间的距离是_______；

③数轴上表示4和 $\text{[math]}$ 的两点之间的距离是_______；

(2) 归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______；

(3) 应用：

①优秀的陈英杰老师发现代数式 $\text{[math]}$ 的几何意义是：表示有理数 $\text{[math]}$ 的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得 $\text{[math]}$ 的最小值为_______；

②求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

数轴上两点之间的距离; 绝对值的概念与意义; 两个绝对值的和的最值; 多个绝对值的和的最值;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB= $\text{[math]}$ ，线段AB的中点表示的数为 $\text{[math]}$ ．

【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40．

【综合运用】（1）点B表示的数是__________．

（2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离．

（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；

（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．

实践探究题普通

2. 【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：|x₁﹣x₂|表示在数轴上数x₁ ， x₂对应点之间的距离．在数轴上，点A，B的位置如图1所示，AB＝|1﹣（﹣2）|＝3．

【问题解决】

(1) |2﹣（﹣3）|的几何意义是．

(2) 如果点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为﹣2，那么CD＝（用含x的代数式表示）．

(3) 运用一：代数式|x+1|+|x+4|的最小值为．

(4) 运用二：代数式|x﹣2|﹣|x+14|的最大值为．

(5) 运用三：已知|x﹣1|+|x+3|＝10，则x的值为．

(6) 运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是﹣5，F点表示数是﹣2，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF，点E与点G之间的距离表示为EG，点F与点G之间的距离表示为FG.4秒后，若 mFG﹣3EF的值是一个定值，试确定m的值．

实践探究题困难

3. 同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：

(1) 求|4﹣（﹣2）|＝；

(2) 若|x﹣2|＝5，则x＝；

(3) 请你找出所有符合条件的整数x ，使得|1﹣x|+|x+2|＝3．

实践探究题困难