开普勒定律指出：（一）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。（二）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。（三）行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方的比值都相等，即， k是一个常量。开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动。结合开普勒定律及相关知识，回答下列问题：（1）如果一颗人造地球卫星沿椭圆轨道运动，它在离地球最近的位置（近地点）和最远的位置（远地点），哪点的线速度比较大？（2）若行星的轨道与圆十分接近，可近似认为椭圆的半长轴等于圆的半径。已知引力常量为G，太阳的质量为M。请推导太阳系中常量k的表达式；（3）2021年2月，由我国研制的探测器“天问一号”成功实施近火制动后，进入环绕火星的椭圆形停泊轨道，如图所示。已知：火星停泊轨道半长轴a、火星半径、火星表面处重力加速度大小。求“天问一号”在停泊轨道运行的周期T。

1. 圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

(1) 如图1所示，卫星在近地轨道I上围绕地球的运动，可视作匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道I上的运行速度大小v。

(2) 在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道I进入椭圆轨道Ⅱ。卫星绕地球沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，我们可以借用开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）来研究。如图2所示，卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道上运动。已知：卫星经过M点时，其与地心的距离为r_M ，速度大小为v_M ，方向与r_M夹角为α；卫星经过N点时，其与地心的距离为r_N ，速度大小为v_N ，方向与r_N夹角为β；试求：v_M∶v_N

(3) 如图3所示，在地球表面，以与竖直方向成α角的方向发射一导弹，其初速度 $\text{[math]}$ 。已知导弹的运动遵循开普勒第二定律，发射后的轨迹为以地心为焦点的椭圆轨道的一部分，求导弹上升距地面的最大高度。（已知地球与其附近距地心r，质量为m的物体组成的系统具有的引力势能为 $\text{[math]}$ ，忽略空气阻力和地球自转的影响）。

解答题普通

2. 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。

(1) 如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为 $\text{[math]}$ ，在远地点D的速度为 $\text{[math]}$ ，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算 $\text{[math]}$ 的数值；

②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？

(2) 我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。

①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为： $\text{[math]}$ ，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（ $\text{[math]}$ ）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚；

②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题困难

3. 我国空间站第三批空间科学实验样品2022年12月4日晚随神舟十四号飞船返回舱返回地面，5日凌晨运送抵达北京中科院空间应用中心，已顺利交接相关实验科学家.空间站绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示，太阳光可看作平行光，航天员在A点测出地球的张角为α=60°，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球公转的影响.最后结果用g、R表示，求：

(1) 空间站的线速度多大？

(2) 空间站绕地球一周经历“日全食”的时间多大？

解答题普通

1. 2024年6月2日，“嫦娥六号”探测器成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。“嫦娥六号”以逆行方式进入月球轨道，被月球捕获后的部分过程如图所示：探测器在“12h大椭圆轨道1”运行经过P点时变轨进入“4h椭圆停泊轨道2”，在轨道2上经过P时再变轨进入“200km圆轨道3”，三个轨道相切于P点，Q点是轨道2上离月球最远的点。下列说法正确的是（　　）

A. 探测器从轨道1进入轨道2的过程中，需点火加速 B. 探测器分别沿着轨道2和轨道3运行时，经过P点的向心加速度相等 C. 探测器沿着轨道2经过Q的速度大于沿着轨道3经过P的速度 D. 探测器在轨道3上运行的周期比在轨道1上运行的周期大

单选题普通

2. 中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10。日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R₀、最远时相距5R₀ ，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为（　　）

A. 365天 B. 400天 C. 670天 D. 800天

单选题普通

3. 已知哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，如图所示为地球、哈雷彗星绕太阳运动的示意图，哈雷彗星的轨道是一个很扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为r₁ ，在远日点与太阳中心的距离为r₂ ，若地球的公转轨道可视为半径为R的圆轨道，地球公转周期为T₀ ，引力常量为G，r₁<R，则下列说法正确的是（　　）

A. 由题中的已知量可求出地球质量 B. 由题中的已知量可求出彗星的公转周期 C. 彗星在近日点的速度小于地球的公转速度 D. 彗星在近日点的加速度小于地球公转的加速度

单选题普通

1. 圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

(1) 如图1所示，卫星在近地轨道I上围绕地球的运动，可视作匀速圆周运动，轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道I上的运行速度大小v。

(2) 在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道I进入椭圆轨道Ⅱ。卫星绕地球沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，我们可以借用开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等）来研究。如图2所示，卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道上运动。已知：卫星经过M点时，其与地心的距离为r_M ，速度大小为v_M ，方向与r_M夹角为α；卫星经过N点时，其与地心的距离为r_N ，速度大小为v_N ，方向与r_N夹角为β；试求：v_M∶v_N

(3) 如图3所示，在地球表面，以与竖直方向成α角的方向发射一导弹，其初速度 $\text{[math]}$ 。已知导弹的运动遵循开普勒第二定律，发射后的轨迹为以地心为焦点的椭圆轨道的一部分，求导弹上升距地面的最大高度。（已知地球与其附近距地心r，质量为m的物体组成的系统具有的引力势能为 $\text{[math]}$ ，忽略空气阻力和地球自转的影响）。

解答题普通

2. 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。

(1) 如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为 $\text{[math]}$ ，在远地点D的速度为 $\text{[math]}$ ，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算 $\text{[math]}$ 的数值；

②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？

(2) 我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。

①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为： $\text{[math]}$ ，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（ $\text{[math]}$ ）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚；

②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题困难

3. 月球是与地球关系密切的天体，研究月球及其运动有助于了解它对地球的影响。