已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 已知实数 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .

（i）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的极值；

（ii）若 $\text{[math]}$ 有3个零点，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

函数恒成立问题; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究曲线上某点切线方程; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题困难

1. 若存在有限个 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不是偶函数，则称 $\text{[math]}$ 为“缺陷偶函数”， $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的偶点.

(1) 证明： $\text{[math]}$ 为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.

(2) 对任意x， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ .

①若 $\text{[math]}$ 是“缺陷偶函数”，证明：函数 $\text{[math]}$ 有2个极值点.

②若 $\text{[math]}$ ，证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 只有在 $\text{[math]}$ 处取得极小值，且无极大值，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 既有极大值，又有极小值，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通