红岭未来工程师团队设计了如图所示的游戏装置：水平直轨道AC、倾斜直轨道CD、圆弧轨道DBE、水平直轨道EF依次平滑连接，D、E两点是直轨道与圆弧轨道的切点，P为两直轨道交错点。倾斜直轨道CD的倾角为、CP=1.0m；圆弧轨道DBE的半径R=10cm。与AC同一平面水平放置一个靶环，环间距为d=10cm，10环的半径r=10cm，靶心与轨道在同一个竖直面内且距轨道末端F的水平距离为x=1m。游戏时，在水平轨道AC上，给小球一个初动能，使小球沿轨道运动最终落在靶环上，获得相应分数。小球质量m=20g，可看成质点，所有摩擦阻力均不计，g=10m/s2。求：

1. 红岭未来工程师团队设计了如图所示的游戏装置：水平直轨道AC、倾斜直轨道CD、圆弧轨道DBE、水平直轨道EF依次平滑连接，D、E两点是直轨道与圆弧轨道的切点，P为两直轨道交错点。倾斜直轨道CD的倾角为 $\text{[math]}$ 、CP=1.0m；圆弧轨道DBE的半径R=10cm。与AC同一平面水平放置一个靶环，环间距为d=10cm，10环的半径r=10cm，靶心与轨道在同一个竖直面内且距轨道末端F的水平距离为x=1m。游戏时，在水平轨道AC上，给小球一个初动能，使小球沿轨道运动最终落在靶环上，获得相应分数。小球质量m=20g，可看成质点，所有摩擦阻力均不计，g=10m/s²。求：

(1) 刚好能通过B点获得分数时，小球在圆环最高点B的速率 $\text{[math]}$ 和在最低点E的速率 $\text{[math]}$ ；

(2) 正中靶心时，小球的初动能E_k0；

(3) 获得分数大于4分时，小球的初动能。

【考点】

平抛运动; 竖直平面的圆周运动; 机械能守恒定律;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，竖直平面内有一圆弧管道，其半径为 $\text{[math]}$ ，质量 $\text{[math]}$ 的小球从平台边缘的A处以初速度 $\text{[math]}$ 水平射出，恰能沿圆弧管道上P点的切线方向进入管道内侧，管道半径OP与竖直线的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， g取 $\text{[math]}$ 。试求：

（1）小球从平台上的A点射出到P点的水平距离；

（2）如果小球沿管道通过圆弧的最高点Q时的速度大小为3m/s，则小球运动到Q点时对轨道的压力；

（3）如果小球与管道的摩擦不同，从最高点Q飞出速度范围为0~3m/s的小球，小球直接落在地面上最近的点为M，最远的点为N，求MN的距离.（计算结果可用根号表示）。

解答题普通

2. 如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内。小球通过最高点B时。

（1）若小球通过最高点B时，对下管壁的压力为0.5mg，求小球从管口飞出时的速率v₁；

（2）若小球通过最高点B时，对上管壁的压力大小为mg，求小球从管口飞出时的速率v₂；

（3）若小球第一次以v₁飞出管口，第二次以v₂飞出管口，求两次落地点间的距离。

解答题普通

3. 抛石机是古代远程攻击的一种重型武器，某同学制作了一个简易模型，如图所示。支架固定在地面上，O为转轴，长为L的轻质硬杆A端的凹槽内放置一石块，B端固定质量为m的重物 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。为增大射程，在重物B上施加一向下的瞬时作用力后，硬杆绕O点在竖直平面内转动。硬杆转动到竖直位置时，石块立即被水平抛出，此时重物的速度为 $\text{[math]}$ ，石块直接击中前方倾角为 $\text{[math]}$ 的斜坡，且击中斜坡时的速度方向与斜坡成 $\text{[math]}$ 角，重力加速度为g，忽略空气阻力影响。求：

（1）重物m运动到最低点时对杆的作用力；

（2）石块击中斜坡时的速度大小；

（3）石块抛出后在空中运动的水平距离。

解答题普通