用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．

1. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定 $\text{[math]}$ ．如： $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求a的值．

【考点】

有理数混合运算法则（含乘方）; 合并同类项法则及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊗”，规则如下： $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，根据规则完成下列问题：

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) $\text{[math]}$ 的值为______．

解答题普通

2. （1）如果欲求 $\text{[math]}$ 的值，可令 $\text{[math]}$ ①，将①式右边顺序倒置，得 $\text{[math]}$ ②，由②式+①式，得 $\text{[math]}$ 　　； $\text{[math]}$ 　　；由结论求 $\text{[math]}$ 　　；

（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是　　；根据此规律，如果 $\text{[math]}$ （n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 $\text{[math]}$ 　　， $\text{[math]}$ 　　；

②为了求 $\text{[math]}$ 的值，可令 $\text{[math]}$ ①，则 $\text{[math]}$ ②，由②式﹣①式，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

仿照以上推理，计算 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题．

材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是 $\text{[math]}$ ，

空白部分的面积之和为： $\text{[math]}$ ．

材料二：欲求 $\text{[math]}$ 的值，可以按照如下步骤进行：

令 $\text{[math]}$ ①，

等式两边同时乘以2，得 $\text{[math]}$ ②，

由②式减去①式，得 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

解决问题：

(1) 图1部分③的面积为______．

(2) 如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得 $\text{[math]}$ 的值为______．

(3) 利用材料二提供的方法，请你求出 $\text{[math]}$ 的值．

(4) 通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题： $\text{[math]}$ 的值为______．

解答题普通