如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题：

1. 如图（1），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为锐角，点D为射线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边在 $\text{[math]}$ 的右侧作等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

(1) 如果 $\text{[math]}$ ．

①当点D在线段 $\text{[math]}$ 上时（与点B不重合），请直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为；位置关系为；（不用证明）

②当点D在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由．

(2) 如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在线段 $\text{[math]}$ 上运动．

试探究：当 $\text{[math]}$ 满足一个什么条件时， $\text{[math]}$ （点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述 $\text{[math]}$ 成立的理由．

【考点】

旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-AAS; 手拉手全等模型;

【答案】

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综合题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 交于M．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的度数为°；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数为°；

(3) 如图3，当 $\text{[math]}$ 绕O点任意旋转时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．

综合题普通

2. 已知，如图1，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，E，F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．

(1) 在图1中，连接 $\text{[math]}$ ，为了证明结论“ $\text{[math]}$ ”，小亮将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 绕点A旋转到图2位置时，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？

综合题普通

3. 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的一动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上时，如图②、图③所示，线段 $\text{[math]}$ 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

综合题普通