已知直三棱柱中，侧面为正方形，， E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．

1. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， E，F分别为AC和 $\text{[math]}$ 的中点，D为棱 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ：

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 试求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

解答题普通

2. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点M为正方形 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 上的动点．

(1) 在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点N ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立，若存在，求出点N的位置，若不存在，说明理由；

(2) 当点M落在线段 $\text{[math]}$ 靠近 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 上时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题困难

3. 图1是由正三角形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 组成的一个平面图形，将其沿 $\text{[math]}$ 折起使得平面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，如图2．

(1) 证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题困难