如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接．

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点C，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标；

(3) Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使 $\text{[math]}$ 为以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-面积问题; 二次函数-特殊三角形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 能否把 $\text{[math]}$ 分成面积之比为 $\text{[math]}$ 的两部分？若能，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不能，请说明理由．

(3) 若 $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上一动点，使得 $\text{[math]}$ 为直角三角形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于A， $\text{[math]}$ 两点，顶点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

(3) 如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为N， $\text{[math]}$ 交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得 $\text{[math]}$ 为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与二次图象交于 $\text{[math]}$ 轴上的一点 $\text{[math]}$ ，二次函数的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求二次函数的解析式；

(2) 设一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与二次函数图象另一交点为 $\text{[math]}$ ．

①在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 面积与 $\text{[math]}$ 面积相等，若存在，求出 $\text{[math]}$ 点坐标，若不存在，说明理由．

②已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一个动点，且 $\text{[math]}$ 为直角三角形，求点 $\text{[math]}$ 坐标．

解答题困难