如图，已知，边的垂直平分线与相交于点D，与相交于点E，且．

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与 $\text{[math]}$ 相交于点D，与 $\text{[math]}$ 相交于点E，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数为__________；

(2) 写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

【考点】

三角形的外角性质; 线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的性质;

【答案】

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证明题普通

1. 《几何原本》在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”

(1) 请补全上述命题的证明．

已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$

证明：如图，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 边的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径在线段 $\text{[math]}$ 边上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．（用无刻度的直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹）

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，（__________________）（填推理的依据）

∴ $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外角，

∴ $\text{[math]}$ ，（__________________）（填推理的依据）

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

(2) 请再设计一种证明的方法，画出图形（不要求尺规作图），并简要说明理由．

证明题普通

2. 补充完成下列推理过程：

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

证明：

∵ $\text{[math]}$ ，（已知）

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$ （①）

且 $\text{[math]}$ ，（②）

∴ $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ，（等量代换）

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴④

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$

∴⑤（全等三角形的对应边相等）；

证明题普通

3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF.求证：AF＝BF.

证明题普通