已知函数（且），且.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的定义域；

(2) 判断并用定义法证明函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

(3) 求关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集.

【考点】

函数的定义域及其求法; 函数单调性的判断与证明;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成两部分，记左侧部分的多边形为 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 各边长的平方和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 各边长的倒数和为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）分别求函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在该区间上均单调递减？若存在，求 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，说明理由.

解答题困难

2. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数

(1) 对任意 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 在（1）的条件下，求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值 $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通

3. 已知关于x的函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值 $\text{[math]}$ ；

(2) 如果函数 $\text{[math]}$ 同时满足：

①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；

②在函数的定义域内存在区间 $\text{[math]}$ ，使得函数在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ ．

则我们称函数 $\text{[math]}$ 是该定义域上的“闭函数”．

（i）若关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是“闭函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（ii）判断（1）中 $\text{[math]}$ 是否为“闭函数”？若是，求出 $\text{[math]}$ 的值或关系式；若不是，请说明理由．

解答题困难